דוגמה למעברים קריטיים בלמידת מתמטיקה - הגדרת כפל על מספרים שליליים - "שלילי כפול שלילי הוא חיובי"
PDF בעל תוכן
מורחב להורדה
במשפט אחד
מדוע התלמידים מתקשים לקבל ש"שלילי כפול שלילי הוא חיובי", ומה אפשר לעשות כדי לעזור להם?
על מה מדובר?
זהו המקרה הראשון שבו ההצדקה של פעולה על מספרים אינה יכולה להיעשות בעזרת מודל מוחשי, ולכן מסתמכים, כנהוג במתמטיקה, על כללי המתמטיקה. במילים אחרות, ההצדקה לא תוצע מהעולם החיצוני למתמטיקה, אלא מתוך המתמטיקה עצמה. ההצדקה תתבטא בהוכחה שהתכונה החדשה או הפעולה החדשה מתחייבת לוגית מתוך כללים מתמטיים שהיו בתוקף עד כה, ואמורים להישמר גם בהמשך. מכיוון שהכלל שונה מזה שלפיו התלמידים פעלו עד כה, יש להציגו בפניהם במפורש. הרחבה: ההפעלה של פעולה מוכרת על מספרים מסוג חדש – מכפלת שני מספרים שליליים היא מספר חיובי. עד כה הוצדקו כללי הפעולות על מספרים בעזרת מודלים מוחשיים. למשל, ניתן היה להשתמש בחפצים בדידים כדי לתאר ולהסביר מצבים של חיבור או חיסור ואף של כפל וחילוק; אפשר היה להיעזר במודל של ציר המספרים או של מעליות כדי להצדיק הגדרות מקובלות של חיבור או חיסור מספרים מכוונים. לעומת זאת, במקרה של "שלילי כפול שלילי" לא נמצא מודל יומיומי מוחשי שיכול להסביר מדוע נכון לקבוע שהמכפלה תהיה מספר חיובי. היעדר מודל כזה מחייב אותנו, לראשונה בתוכנית הלימודים, להתבסס על החוקים הפנימיים של המתמטיקה כדי להצדיק את הגדרתה של פעולה מספרית. שינוי כזה אינו טריוויאלי. כאשר מציגים מודל יומיומי המתאר פעולה מתמטית, הפעולה המתמטית נראית כאילו היא חלק בלתי נפרד מהעולם ונכונותה מצטיירת בעינינו כברורה מאליה. אם נסביר כי כדי לבצע את הפעולה 4+(3-) עלינו לדמיין שאנו עולים 4 קומות מעל לקומה (3-) בחניון של הקניון, הרי שברור כי התוצאה היא 1: נגיע לקומה מספר 1 ולא ייתכן אחרת. ניתן לחזק זאת על ידי הצגת מודל נוסף – ישר המספרים. גם כאן הנכונות היא לכאורה ברורה מאליה. זו הדרך שנקטנו עד כה כדי להסביר לתלמידים מדוע הוגדרו פעולות מתמטיות על מספרים בדרך מסוימת. כעת הם עומדים בפני מצב אחר שבו הנימוק לקבלת הגדרה של פעולה כמו "שלילי כפול שלילי" הוא שהגדרה זאת אינה סותרת את תכונות המספרים העיקריות שהיו בתוקף עד כה. כך, לדוגמה, מראים כיצד הכלל "שלילי כפול שלילי הוא חיובי" נגזר מחוק הפילוג של כפל מעל חיבור, המתקיים עבור מספרים בלתי מכוונים ואמור להישמר גם לאחר הוספת מספרים שליליים. נבחן את הטיעון: נניח שאנו יודעים כבר, כי כפל של חיובי בשלילי הוא שלילי, תכונה שאפשר עדיין להצדיק באמצעות מודל מוחשי (למשל, אם נרד שתי מדרגות בכל פעם, בזו אחר זו, שלוש פעמים רצופות, נרד שש מדרגות בסך הכול, כלומר 3×(-2)=(-6). כעת נניח ש-a ו-b הם מספרים חיוביים. אם חוק הפילוג אמור להתקיים גם בקרב המספרים המכוונים, הרי ש: i. 0=(-a)×[b+(-b)]=(-a)×b+(-a)×(-b) ופירוש הדבר ש: ii. (-a)×b+(-a)×(-b)=0 אבל אנחנו יודעים כבר מהו כפל של חיובי ושלילי, ובמקרה זה: iii. (-a)xb=-ab אם נציב זאת בשוויון ii, נקבל: iv. (-ab)+(-a)×(-b)=0 ממשוואה iv אפשר להסיק כי המספרים (ab-) ו-(a)×(-b-) הם נגדיים. אם נחבר ab לשני האגפים, נקבל: (-a)×(-b)=ab בעוד שהצדקה מתמטית מסוג זה יפה ויעילה בעיני מתמטיקאים, היא עלולה להיות בלתי משכנעת בעיני תלמידים שעד כה פעלו לפי העיקרון הבלתי-מפורש "חוקי מתמטיקה הם חוקי הטבע, ולכן כדי להצדיק פעולות על מספרים יש להראות שהן מתקיימות במודל מוחשי כלשהו".
מדוע התלמידים מתקשים לקבל ש"שלילי כפול שלילי הוא חיובי", ומה אפשר לעשות כדי לעזור להם?
על מה מדובר?
זהו המקרה הראשון שבו ההצדקה של פעולה על מספרים אינה יכולה להיעשות בעזרת מודל מוחשי, ולכן מסתמכים, כנהוג במתמטיקה, על כללי המתמטיקה. במילים אחרות, ההצדקה לא תוצע מהעולם החיצוני למתמטיקה, אלא מתוך המתמטיקה עצמה. ההצדקה תתבטא בהוכחה שהתכונה החדשה או הפעולה החדשה מתחייבת לוגית מתוך כללים מתמטיים שהיו בתוקף עד כה, ואמורים להישמר גם בהמשך. מכיוון שהכלל שונה מזה שלפיו התלמידים פעלו עד כה, יש להציגו בפניהם במפורש. הרחבה: ההפעלה של פעולה מוכרת על מספרים מסוג חדש – מכפלת שני מספרים שליליים היא מספר חיובי. עד כה הוצדקו כללי הפעולות על מספרים בעזרת מודלים מוחשיים. למשל, ניתן היה להשתמש בחפצים בדידים כדי לתאר ולהסביר מצבים של חיבור או חיסור ואף של כפל וחילוק; אפשר היה להיעזר במודל של ציר המספרים או של מעליות כדי להצדיק הגדרות מקובלות של חיבור או חיסור מספרים מכוונים. לעומת זאת, במקרה של "שלילי כפול שלילי" לא נמצא מודל יומיומי מוחשי שיכול להסביר מדוע נכון לקבוע שהמכפלה תהיה מספר חיובי. היעדר מודל כזה מחייב אותנו, לראשונה בתוכנית הלימודים, להתבסס על החוקים הפנימיים של המתמטיקה כדי להצדיק את הגדרתה של פעולה מספרית. שינוי כזה אינו טריוויאלי. כאשר מציגים מודל יומיומי המתאר פעולה מתמטית, הפעולה המתמטית נראית כאילו היא חלק בלתי נפרד מהעולם ונכונותה מצטיירת בעינינו כברורה מאליה. אם נסביר כי כדי לבצע את הפעולה 4+(3-) עלינו לדמיין שאנו עולים 4 קומות מעל לקומה (3-) בחניון של הקניון, הרי שברור כי התוצאה היא 1: נגיע לקומה מספר 1 ולא ייתכן אחרת. ניתן לחזק זאת על ידי הצגת מודל נוסף – ישר המספרים. גם כאן הנכונות היא לכאורה ברורה מאליה. זו הדרך שנקטנו עד כה כדי להסביר לתלמידים מדוע הוגדרו פעולות מתמטיות על מספרים בדרך מסוימת. כעת הם עומדים בפני מצב אחר שבו הנימוק לקבלת הגדרה של פעולה כמו "שלילי כפול שלילי" הוא שהגדרה זאת אינה סותרת את תכונות המספרים העיקריות שהיו בתוקף עד כה. כך, לדוגמה, מראים כיצד הכלל "שלילי כפול שלילי הוא חיובי" נגזר מחוק הפילוג של כפל מעל חיבור, המתקיים עבור מספרים בלתי מכוונים ואמור להישמר גם לאחר הוספת מספרים שליליים. נבחן את הטיעון: נניח שאנו יודעים כבר, כי כפל של חיובי בשלילי הוא שלילי, תכונה שאפשר עדיין להצדיק באמצעות מודל מוחשי (למשל, אם נרד שתי מדרגות בכל פעם, בזו אחר זו, שלוש פעמים רצופות, נרד שש מדרגות בסך הכול, כלומר 3×(-2)=(-6). כעת נניח ש-a ו-b הם מספרים חיוביים. אם חוק הפילוג אמור להתקיים גם בקרב המספרים המכוונים, הרי ש: i. 0=(-a)×[b+(-b)]=(-a)×b+(-a)×(-b) ופירוש הדבר ש: ii. (-a)×b+(-a)×(-b)=0 אבל אנחנו יודעים כבר מהו כפל של חיובי ושלילי, ובמקרה זה: iii. (-a)xb=-ab אם נציב זאת בשוויון ii, נקבל: iv. (-ab)+(-a)×(-b)=0 ממשוואה iv אפשר להסיק כי המספרים (ab-) ו-(a)×(-b-) הם נגדיים. אם נחבר ab לשני האגפים, נקבל: (-a)×(-b)=ab בעוד שהצדקה מתמטית מסוג זה יפה ויעילה בעיני מתמטיקאים, היא עלולה להיות בלתי משכנעת בעיני תלמידים שעד כה פעלו לפי העיקרון הבלתי-מפורש "חוקי מתמטיקה הם חוקי הטבע, ולכן כדי להצדיק פעולות על מספרים יש להראות שהן מתקיימות במודל מוחשי כלשהו".
איך משתמשים בה?
לחצו על הרכיבים כדי לקרוא את הפירוט עליהם
לחצו על הרכיבים כדי לקרוא את הפירוט עליהם
שימו לב
במהלך המעבר בין השיחים ובכניסה לשיח החדש, המורה היא המובילה את השיח, בעיקר בדרך של הרצאה.
להורדת הפרקטיקה כPDF
הכוללת את תוכן הדף בהרחבה
דוגמאות ליישום הפרקטיקה
מתן שמות לצורות ולעצמים הוא פעולה שאנו מבצעים מגיל צעיר.
איך עוברים בשיעור בין עולם המספרים
הממשים למרוכבים
איך עוברים בשיעור בין עולם המספרים הממשים למרוכבים
פעולת החזקה: הגדרת פעולת החזקה, כאשר המעריך הינו מספר רציונאלי.
מקורות
Sfard, A. (2007). When the rules of discourse change, but nobody tells you: Making sense of mathematics learning from a commognitive standpoint. The Journal of the learning sciences, 16(4), 565-613..
