במשפט אחד
הגדרת פעולת החזקה, כאשר המעריך הוא מספר רציונלי.

על מה מדובר?

בשלב הראשון של למידת החזקות, מעריך החזקה מתפרש כמגדיר את מספר הפעמים שיש לכפול את הבסיס בעצמו. וכך, כאשר m הוא מספר טבעי, הביטוי a^m שקול למכפלה מהצורה a·a·a·…·a בעלת m גורמים. בשלב זה, החזקה היא סימן מקוצר של כפל עצמי חוזר. כיצד נעזור לתלמיד הרואה חזקה ככפל מקוצר להתמודד עם ביטוי מהצורה a m כאשר m אינו מספר טבעי, אלא רציונלי כלשהו, כגון 1/2 או 3/4  או אף (3-) או (0.25-)?
פירוט: גם הפעם, הרעיון הוא לגזור את ההגדרה מתוך אותן תכונות של חזקה המתקיימות במקרה של מעריכים טבעיים ושאותן רוצים לשמר. מה הן התכונות האלה? הנה אחדות מהן, כולן מתקיימות עבור חזקות עם מעריכים m ו-n שהם מספרים טבעיים:

i. a^m aⁿ = a^m+n
ii. a^m /aⁿ =a^m-n
iii. (a^m)ⁿ =a^mn
iv. (ab)ⁿ =aⁿbⁿ

אם נרצה שכללים אלה יישמרו, הרי ברור כי אין ברירה, אלא להגדיר את ⁰a כשווה ל 1, שכן מן הכלל ii לעיל נובע ש:

1 = a^m /a^m = a^m-m = a0

כדי שהתלמידים ימצאו טיעון זה כמשכנע, עליהם להבין שחזקה אינה מעין פעולה "טבעית" שהעולם עצמו מכתיב, אלא תוצאה של החלטה שלנו. נוסף על כך, חשוב שיראו שההחלטה הזאת מתבטאת בהגדרה שאנו מנסחים בהתאם לאילוצים שקבענו לעצמנו. במקרה זה, כמו בזה הקודם, האילוץ הוא שתכונות מובחרות שהיו קיימות קודם (ראה למשל תכונות i–iv שלעיל), יישמרו גם אחר הרחבת המושג. חשוב להדגיש בפני התלמידים שפעולת גזירה מעין זו שביצענו לעיל עבור ⁰a לא הייתה הוכחה: לא היה כאן טיעון מתמטי ידוע מראש שרצינו להפוך למשפט, אלא פעולת הגדרה, פעולה של מציאת פרשנות אפשרית לסמל ⁰a, פרשנות שתהיה שימושית ולא תסתור את הכללים של חזקה שהיו בתוקף עד כה.